Une première porte d’entrée dans QuantumLab : deux descriptions mathématiques du même système, mais deux manières très différentes de prévoir ce que fait l’électron.
On imagine l’électron comme un petit objet ponctuel. À chaque instant, il possède une position \((x,y,z)\) et une vitesse. La force électrique du proton courbe sa trajectoire.
Objet recherché : la trajectoire \(x(t),y(t),z(t)\).
On ne cherche plus une trajectoire précise. On cherche une fonction d’onde \(\psi(x,y,z,t)\), dont le module carré \(|\psi|^2\) donne une densité de probabilité de présence.
Objet recherché : la fonction d’onde \(\psi\) et les énergies permises.
Une dérivée mesure une vitesse de variation. Elle indique comment une grandeur change lorsque l’on fait varier une autre grandeur.
| Notation | Lecture simple | Exemple physique |
|---|---|---|
| \(\dfrac{dx}{dt}\) | Vitesse de variation de \(x\) avec le temps. | C’est la composante \(v_x\) de la vitesse. |
| \(\dfrac{d^2x}{dt^2}\) | Vitesse de variation de la vitesse \(dx/dt\). | C’est la composante \(a_x\) de l’accélération. |
| \(\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\) | Mesure la courbure de \(\psi\) suivant la direction \(x\). | Une forte courbure spatiale contribue à l’énergie cinétique quantique. |
On suppose le proton immobile à l’origine \(O\), et l’électron de masse \(m_e\) situé au point \((x,y,z)\). On pose \[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
La force électrostatique attractive est dirigée vers le proton :
Ces trois équations donnent l’accélération de l’électron à chaque instant. Avec une position et une vitesse initiales, elles déterminent une trajectoire.
Le premier terme représente l’énergie cinétique quantique, le second l’énergie potentielle coulombienne, et \(E\) est une énergie permise de l’atome.
| \(m_e\) | masse de l’électron, en kilogrammes (kg) |
|---|---|
| \(e\) | valeur absolue de la charge élémentaire, en coulombs (C) |
| \(\varepsilon_0\) | permittivité électrique du vide, en farads par mètre (F·m\(^{-1}\)) |
| \(\hbar\) | constante de Planck réduite, en joules secondes (J·s) |
| \(E\) | énergie, en joules (J) |
Pour un atome, la symétrie autour du noyau rend naturelles les coordonnées sphériques : \(r\) est la distance au noyau, \(\theta\) l’angle mesuré depuis l’axe \(z\), et \(\varphi\) l’angle autour de cet axe.
Une orbite classique sous force centrale reste dans un plan. Dans ce plan :
La première équation décrit le mouvement radial. La seconde exprime la conservation du moment cinétique.
Cette écriture sépare naturellement la dépendance radiale et la dépendance angulaire de la fonction d’onde.
Pour une énergie mécanique négative, la trajectoire de Kepler est une ellipse. En plaçant le proton à l’un des foyers, à l’origine, une écriture possible est :
\(a\) est le demi-grand axe et \(e\) l’excentricité, avec \(0\leq e<1\). Cette équation décrit une courbe dans l’espace.
Pour l’atome d’hydrogène, l’orbitale \(2p_z\) s’écrit en coordonnées cartésiennes :
\(a_0\) est le rayon de Bohr, exprimé en mètres. Cette expression décrit un champ de valeurs dans tout l’espace, et non une trajectoire.
Classique : l’électron occupe un point de l’ellipse à chaque instant.
Quantique : deux lobes de signes opposés, séparés par un plan nodal.
La même orbite elliptique, avec le proton au foyer, s’écrit :
Pour chaque direction \(\varphi\), cette formule donne la distance \(r\) entre le proton et l’électron sur l’orbite.
La même fonction d’onde \(2p_z\) s’écrit :
Elle ne dépend pas de \(\varphi\) : l’orbitale possède une symétrie de révolution autour de l’axe \(z\). Le facteur \(\cos\theta\) change de signe lorsqu’on traverse le plan \(z=0\).
La résolution de l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène fait apparaître trois nombres quantiques qui repèrent les états spatiaux :
| Nombre | Rôle simple | Pour \(2p_z\) |
|---|---|---|
| \(n\) | Nombre quantique principal : taille générale et niveau d’énergie. | \(n=2\) |
| \(\ell\) | Nombre quantique orbital : forme angulaire générale. | \(\ell=1\), donc une orbitale \(p\) |
| \(m\) | Nombre quantique magnétique : orientation de la dépendance angulaire. | \(m=0\), ce qui conduit à \(p_z\) |
À chaque état stationnaire \((n,\ell,m)\) est associée une énergie \(E\). Dans le modèle idéal de l’atome d’hydrogène, sans structure fine ni champ extérieur, cette énergie dépend seulement de \(n\) :
Plusieurs états ayant des valeurs différentes de \(\ell\) et de \(m\) peuvent donc posséder la même énergie. Les pages suivantes de QuantumLab détailleront la signification de ces nombres, les orbitales, les niveaux d’énergie, le spin et les corrections plus fines.
La mécanique classique calcule la trajectoire d’un électron soumis à une force ; la mécanique quantique calcule une fonction d’onde et des énergies permises, puis en déduit les probabilités d’observation.