QuantumLab — Le puits de potentiel carré fini à une dimension

Nous allons résoudre progressivement l'équation de Schrödinger pour un électron dans un puits de profondeur \(V\) et de largeur \(L\). Nous verrons pourquoi il existe un nombre fini de niveaux liés, comment calculer leurs énergies, puis ce qui change lorsque le puits possède un, deux ou trois niveaux liés.

1. Le modèle : un électron dans un puits

L'électron se déplace sur un axe \(x\). Son énergie potentielle vaut \(-V\) dans le puits et zéro à l'extérieur, avec \(V>0\) :

\[U(x)=\begin{cases}-V,& |x|\leq L/2,\\0,&|x|>L/2.\end{cases}\]

Un état lié a une énergie négative, comprise entre le fond et le bord du puits :

\[-V<E<0.\]

Son électron ne peut pas s'échapper à l'infini dans le modèle stationnaire : sa fonction d'onde tend vers zéro loin du puits.

2. L'équation de Schrödinger

Pour un état stationnaire, la fonction d'onde spatiale \(\psi(x)\) satisfait :

\[\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{d^2\psi}{dx^2}+U(x)\psi=E\psi}\]

\(m_e\) est la masse de l'électron, \(\hbar=h/(2\pi)\), \(E\) l'énergie de l'état. La dérivée seconde \(d^2\psi/dx^2\) décrit la courbure de la fonction d'onde.

Le potentiel est constant dans chacune des trois régions. Nous résolvons donc une équation différentielle simple dans chaque région, puis nous raccordons les solutions aux deux bords \(x=\pm L/2\).

3. À l'intérieur du puits : des oscillations

Dans \(-L/2<x<L/2\), nous remplaçons \(U\) par \(-V\) :

\[-\frac{\hbar^2}{2m_e}\psi''-V\psi=E\psi.\]

En isolant la dérivée seconde :

\[\psi''+\frac{2m_e(E+V)}{\hbar^2}\psi=0.\]

Comme \(E+V>0\), nous posons :

\[k=\frac{\sqrt{2m_e(E+V)}}{\hbar}.\]

L'équation devient \(\psi''+k^2\psi=0\), dont la solution générale est :

\[\boxed{\psi_{\mathrm{int}}(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).}\]

À l'intérieur du puits, la fonction d'onde oscille : c'est l'analogue mathématique d'une onde stationnaire.

4. À l'extérieur : une décroissance exponentielle

Pour \(|x|>L/2\), \(U=0\), donc :

\[-\frac{\hbar^2}{2m_e}\psi''=E\psi.\]

Comme \(E<0\), nous posons :

\[\kappa=\frac{\sqrt{-2m_eE}}{\hbar}>0.\]

L'équation s'écrit \(\psi''-\kappa^2\psi=0\). Ses solutions sont des exponentielles. Nous ne gardons que celles qui décroissent vers zéro à l'infini :

\[\psi(x)\propto \begin{cases}e^{\kappa(x+L/2)},&x<-L/2,\\ e^{-\kappa(x-L/2)},&x>L/2. \end{cases}\]

La fonction d'onde déborde donc au-delà des limites du puits. C'est l'une des caractéristiques essentielles d'un puits de profondeur finie.

5. Une simplification : les états pairs et impairs

Le potentiel est symétrique : \(U(-x)=U(x)\). Les états liés peuvent être choisis de parité définie.

État pair

Une fonction paire vérifie \(\psi(-x)=\psi(x)\). Le sinus est impair, donc à l'intérieur :

\[\psi_{\mathrm{pair}}(x)=A\cos(kx).\]

État impair

Une fonction impaire vérifie \(\psi(-x)=-\psi(x)\). Le cosinus est pair, donc :

\[\psi_{\mathrm{impair}}(x)=B\sin(kx).\]

Cette symétrie permet de ne faire le raccordement qu'au bord droit \(x=L/2\) : le bord gauche suit automatiquement.

6. Le raccordement au bord du puits

Comme le potentiel est fini, la fonction d'onde et sa dérivée première doivent être continues en \(x=L/2\).

6.1. Pour un état pair

Nous écrivons, à droite du puits, \(\psi=C e^{-\kappa(x-L/2)}\). Au bord :

\[A\cos(kL/2)=C,\qquad -Ak\sin(kL/2)=-\kappa C.\]

En divisant la deuxième égalité par la première :

\[\boxed{k\tan(kL/2)=\kappa.}\]

6.2. Pour un état impair

À l'intérieur, \(\psi=B\sin(kx)\). Au bord :

\[B\sin(kL/2)=C,\qquad Bk\cos(kL/2)=-\kappa C.\]

Nous obtenons :

\[\boxed{-k\cot(kL/2)=\kappa.}\]

Ces deux équations déterminent les énergies possibles. Elles sont dites transcendantes : on ne peut pas, en général, isoler \(E\) à l'aide des fonctions élémentaires. En revanche, leurs racines se calculent très précisément numériquement.

7. Des variables sans dimension pour compter les niveaux

Posons \(a=L/2\) et définissons :

\[z=ka,\qquad p=\kappa a,\qquad z_0=\frac{L}{2\hbar}\sqrt{2m_eV}.\]

Les définitions de \(k\) et \(\kappa\) donnent :

\[\boxed{z^2+p^2=z_0^2.}\]

Les équations des niveaux deviennent :

\[\boxed{\begin{aligned} \text{pairs :}\quad &z\tan z=\sqrt{z_0^2-z^2},\\ \text{impairs :}\quad &-z\cot z=\sqrt{z_0^2-z^2}. \end{aligned}}\]

Pour chaque racine \(z\), l'énergie correspondante est :

\[\boxed{E=\frac{\hbar^2 z^2}{2m_e a^2}-V =\frac{2\hbar^2z^2}{m_eL^2}-V.}\]

Idée centrale : tout le nombre de niveaux liés dépend d'un seul paramètre \(z_0\), proportionnel à \(L\sqrt V\). Augmenter la largeur ou la profondeur peut donc faire apparaître de nouveaux niveaux.

8. Cas n° 1 : un seul niveau lié

Si \(0<z_0\leq\pi/2\), le puits possède exactement un état lié. Il est pair : c'est l'état fondamental, sans nœud.

Nous cherchons une unique racine dans l'intervalle \(0<z<\min(z_0,\pi/2)\) :

\[z\tan z=\sqrt{z_0^2-z^2}.\]

Après calcul de \(z\), nous trouvons \(E_1\) avec la formule précédente. La fonction d'onde s'écrit, à un facteur de normalisation près :

\[\psi_1(x)=A_1 \begin{cases} \cos(k_1x),& |x|\leq a,\\ \cos(k_1a)e^{-\kappa_1(|x|-a)},&|x|>a. \end{cases}\]

La courbe est symétrique, de même signe partout, et se prolonge exponentiellement de chaque côté. Un puits attractif 1D, aussi peu profond soit-il, possède toujours au moins un état lié dès lors que \(V>0\) et \(L>0\).

9. Cas n° 2 : deux niveaux liés

Si \(\pi/2<z_0\leq\pi\), il existe deux états liés.

Niveau	Parité	Intervalle de \(z\)	Nœuds intérieurs
\(E_1\)	Paire	\(0<z_1<\pi/2\)	0
\(E_2\)	Impaire	\(\pi/2<z_2<\min(z_0,\pi)\)	1, en \(x=0\)

Pour le deuxième niveau, nous résolvons :

\[-z_2\cot z_2=\sqrt{z_0^2-z_2^2}.\]

Sa fonction d'onde est antisymétrique :

\[\psi_2(x)=A_2 \begin{cases} \sin(k_2x),&|x|\leq a,\\ \operatorname{sgn}(x)\sin(k_2a)e^{-\kappa_2(|x|-a)},&|x|>a. \end{cases}\]

Cette fonction change de signe au centre. Son énergie est plus élevée que celle du fondamental :

\[-V<E_1<E_2<0.\]

Quand \(z_0\) dépasse \(\pi/2\), le deuxième niveau apparaît juste sous \(E=0\). Sa décroissance extérieure est d'abord très lente, car \(\kappa_2\) est petit.

10. Cas n° 3 : trois niveaux liés

Si \(\pi<z_0\leq 3\pi/2\), le puits possède trois états liés.

Niveau	Parité	Intervalle de \(z\)	Nœuds intérieurs
\(E_1\)	Paire	\(0<z_1<\pi/2\)	0
\(E_2\)	Impaire	\(\pi/2<z_2<\pi\)	1
\(E_3\)	Paire	\(\pi<z_3<\min(z_0,3\pi/2)\)	2

Le troisième état est de nouveau pair. Nous cherchons sa racine avec :

\[z_3\tan z_3=\sqrt{z_0^2-z_3^2},\qquad \pi<z_3<\min(z_0,3\pi/2).\]

Sa fonction d'onde a la même forme générale que celle du premier état pair, mais avec une fréquence spatiale plus élevée :

\[\psi_3(x)=A_3 \begin{cases} \cos(k_3x),&|x|\leq a,\\ \cos(k_3a)e^{-\kappa_3(|x|-a)},&|x|>a. \end{cases}\]

Elle présente deux nœuds symétriques à l'intérieur du puits. Les trois énergies sont ordonnées :

\[-V<E_1<E_2<E_3<0.\]

En augmentant encore \(L\) ou \(V\), un quatrième niveau, impair, apparaît lorsque \(z_0\) dépasse \(3\pi/2\).

11. Résumé : à quel moment apparaît chaque niveau ?

Intervalle du paramètre \(z_0\)	Nombre d'états liés (\(E<0\))	Parités successives
\(0<z_0\leq\pi/2\)	1	Paire
\(\pi/2<z_0\leq\pi\)	2	Paire, impaire
\(\pi<z_0\leq3\pi/2\)	3	Paire, impaire, paire
\(3\pi/2<z_0\leq2\pi\)	4	Paire, impaire, paire, impaire

Aux seuils \(z_0=n\pi/2\), le nouvel état est à \(E=0\) : il n'est pas normalisable sur toute la droite et n'est donc pas encore un état lié au sens strict. Le nouveau niveau n'apparaît qu'au-delà du seuil.

Les seuils peuvent aussi s'exprimer par la condition :

\[\frac{L}{2\hbar}\sqrt{2m_eV}>\frac{n\pi}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad V>\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m_eL^2},\qquad n=1,2,3,\ldots\]

Pour un \(L\) fixé, ces valeurs indiquent les profondeurs auxquelles apparaissent les niveaux supplémentaires.

12. Comment le programme Python obtient-il les résultats ?

À chaque déplacement d'un curseur, le programme effectue les opérations suivantes :

Il lit la profondeur \(V\) et la largeur \(L\), puis calcule \(z_0\).
Il détermine combien d'intervalles de racines sont accessibles.
Il résout dans chaque intervalle l'équation paire ou impaire par une méthode numérique de recherche de zéro (par exemple scipy.optimize.brentq).
Il calcule les énergies \(E_n\), puis les fonctions d'onde dans les trois régions.
Il trace chaque fonction d'onde décalée verticalement de \(E_n\), pour qu'elle « repose » sur son niveau.

\[y_n(x)=E_n+C_{\mathrm{aff}}\, \frac{\psi_n(x)}{\max_x|\psi_n(x)|}.\]

Le facteur \(C_{\mathrm{aff}}\) est uniquement un facteur de représentation graphique, exprimé en eV : il ne modifie ni l'énergie ni la fonction d'onde physique. La normalisation physique, elle, impose \(\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi_n(x)|^2\,dx=1\).

À retenir : les niveaux ne sont pas choisis arbitrairement. Ils sont sélectionnés par trois exigences simultanées : une solution oscillante dans le puits, une décroissance à l'infini et un raccordement continu de \(\psi\) et \(\psi'\) aux bords.