Ordre de grandeur de l’énergie mécanique d’un nucléon dans un noyau \(A=208\)
Dans le modèle en potentiel harmonique nucléaire, l’échelle d’énergie caractéristique est donnée empiriquement par
Pour un noyau lourd de nombre de masse \[ A=208, \] comme le noyau \(^{208}\mathrm{Pb}\), on a
\[ A^{1/3}\simeq 208^{1/3}\simeq 5{,}93. \]On obtient donc
\[ \hbar\omega \simeq \frac{41}{5{,}93} \simeq 6{,}9\ \text{MeV}. \]1. Énergie mécanique dans l’oscillateur harmonique
Les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique tridimensionnel sont
\[ E_N=\left(N+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega, \qquad N=2n_r+\ell. \]Pour l’état fondamental de l’oscillateur, \(N=0\), donc
\[ E_0=\frac{3}{2}\hbar\omega \simeq \frac{3}{2}\times 6{,}9 \simeq 10{,}4\ \text{MeV}. \]Dans \(^{208}\mathrm{Pb}\), les nucléons occupent cependant plusieurs couches. Les nucléons proches du niveau de Fermi se trouvent approximativement dans des couches de nombres quantiques majeurs \(N\simeq 5\) ou \(N\simeq 6\).
Pour \(N=5\) :
\[ E_{N=5} =\left(5+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega =6{,}5\,\hbar\omega \simeq 6{,}5\times 6{,}9 \simeq 45\ \text{MeV}. \]Pour \(N=6\) :
\[ E_{N=6} =\left(6+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega =7{,}5\,\hbar\omega \simeq 7{,}5\times 6{,}9 \simeq 52\ \text{MeV}. \]2. Énergie cinétique moyenne
Pour un oscillateur harmonique, le théorème du viriel donne
\[ \langle T\rangle = \langle V_{\mathrm{harm}}\rangle = \frac{E_N}{2}. \]Pour un nucléon proche du niveau de Fermi, dont l’énergie d’oscillateur est de l’ordre de \(40\) à \(50\ \text{MeV}\), on trouve donc
\[ \boxed{\langle T\rangle \sim 20\ \text{à}\ 25\ \text{MeV}} \]et également
\[ \boxed{ \langle V_{\mathrm{harm}}\rangle \sim 20\ \text{à}\ 25\ \text{MeV} } \]Ici, \(V_{\mathrm{harm}}\) est mesuré à partir du minimum du potentiel harmonique.
3. Ordres de grandeur à distinguer
| Grandeur | Ordre de grandeur pour \(A=208\) |
|---|---|
| Espacement entre couches majeures \(\hbar\omega\) | \(\approx 7\ \text{MeV}\) |
| Énergie cinétique d’un nucléon proche du niveau de Fermi | \(\approx 20\) à \(25\ \text{MeV}\) |
| Énergie mécanique mesurée depuis le fond du potentiel | \(\approx 40\) à \(50\ \text{MeV}\) |
| Énergie moyenne de liaison par nucléon | \(\approx 8\ \text{MeV}\) |
4. Pourquoi l’énergie de liaison n’est-elle que de quelques MeV ?
Il n’y a pas de contradiction entre une énergie d’oscillateur de \(40\) à \(50\ \text{MeV}\) et une énergie moyenne de liaison d’environ \(8\ \text{MeV}\) par nucléon.
Le potentiel nucléaire réel est attractif et possède un fond négatif dont l’ordre de grandeur est
\[ V_0\sim -(45\ \text{à}\ 55)\ \text{MeV}. \]L’énergie totale du nucléon, mesurée par rapport à un nucléon libre, résulte donc d’une compensation entre son énergie cinétique positive et l’énergie potentielle nucléaire négative :
\[ E_{\mathrm{nucléon}} \sim \underbrace{20\ \text{à}\ 25\ \text{MeV}}_{\text{énergie cinétique}} - \underbrace{30\ \text{à}\ 40\ \text{MeV}}_{\text{attraction nucléaire effective}} \sim -8\ \text{MeV}. \]Cette dernière écriture donne seulement un ordre de grandeur. Dans un modèle nucléaire réaliste, les énergies individuelles dépendent de la couche, du couplage spin-orbite, du caractère proton ou neutron et de la forme précise du potentiel moyen.
Pour un noyau lourd \(A=208\), l’échelle élémentaire du potentiel harmonique est \[ \hbar\omega\simeq 7\ \text{MeV}. \] L’énergie mécanique d’un nucléon proche du niveau de Fermi, mesurée depuis le fond du potentiel, est de l’ordre de \[ \boxed{40\ \text{à}\ 50\ \text{MeV}}, \] tandis que son énergie cinétique moyenne est typiquement de l’ordre de \[ \boxed{20\ \text{à}\ 25\ \text{MeV}}. \]