QuantumLab – Molecules_01

Hypothèses du premier calcul LCAO pour H₂⁺

Objectif

Calculer les deux premières orbitales moléculaires de l'ion hydrogène moléculaire H₂⁺ en fonction de la distance internucléaire \(R\), puis tracer les courbes d'énergie de Born–Oppenheimer.

Hypothèses physiques

1. Approximation de Born–Oppenheimer. Les deux noyaux sont supposés fixes. La distance \(R\) est un paramètre.
2. Un seul électron. Il n'y a donc aucune interaction électron–électron.
3. Base minimale. On utilise uniquement les orbitales atomiques hydrogénoïdes \(1s_A\) et \(1s_B\).
4. Approximation LCAO. Les orbitales moléculaires sont recherchées sous la forme \[ \psi_\pm=N_\pm(\phi_A\pm\phi_B). \]
5. Orbitales atomiques figées. Les orbitales 1s conservent exactement la forme de l'atome d'hydrogène isolé. Elles ne se déforment pas lorsque les noyaux se rapprochent.
6. Hamiltonien électronique. \[ H=T+V_A+V_B. \]
7. Énergie totale. Après calcul de l'énergie électronique, on ajoute la répulsion coulombienne des deux protons \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}. \]

Quantités calculées

• recouvrement \(S(R)\),
• \(H_{AA}(R)\),
• \(H_{AB}(R)\),
• énergie liante \(E_g(R)\),
• énergie antiliante \(E_u(R)\),
• énergies totales \(U_g(R)\) et \(U_u(R)\).

Ce que ce premier modèle ne contient pas

• orbitales 2s ou 2p ;
• polarisation des orbitales ;
• optimisation variationnelle de la base ;
• corrélation électronique (inutile ici car un seul électron) ;
• vibration et rotation des noyaux.

Suite prévue du projet

1. Validation du calcul H₂⁺ (1s).
2. Ajout des orbitales 2s.
3. Ajout des orbitales 2p_z.
4. Ajout des orbitales 2p_x et 2p_y.
5. Passage à H₂ (deux électrons).
6. Extension à d'autres molécules diatomiques.