Résultats du calcul \(2s\) elliptique pour \(H_2^+\)
Voici la nouvelle version du programme fondée sur les coordonnées elliptiques prolates.
1. Méthode utilisée
Le programme utilise :
- les coordonnées elliptiques prolates ;
- l’intégration analytique sur \(\eta\) et \(\varphi\) ;
- une quadrature adaptative unidimensionnelle sur \(\xi\) ;
- une grille renforcée aux petites distances, jusqu’à \[ R=0{,}05a_0 ; \]
- un graphique supplémentaire de \[ \Delta E=E_u-E_g ; \]
- la détection automatique des croisements ;
- la recherche des minima locaux ;
- la même interface avec curseur et bouton radio.
2. Croisements des niveaux électroniques
Avec les paramètres actuels, le calcul trouve deux croisements électroniques :
\[ R\simeq0{,}8427a_0 \simeq0{,}4459\ \text{Å}, \]et :
\[ R\simeq6{,}4941a_0 \simeq3{,}4365\ \text{Å}. \]Ainsi, dans cette base minimale :
- à grande distance, \(2\sigma_g\) est sous \(2\sigma_u\) ;
- entre environ \(0{,}446\) et \(3{,}437\ \text{Å}\), \(2\sigma_u\) passe sous \(2\sigma_g\) ;
- aux distances extrêmement petites, l’ordre s’inverse à nouveau.
3. Minimum de la courbe avec répulsion
Le minimum observé vers \(5{,}7\ \text{Å}\) est bien retrouvé, mais il concerne la courbe avec répulsion proton-proton :
\[ U_g=E_g+V_{pp}. \]Le calcul donne :
\[ R_{\min}\simeq5{,}686\ \text{Å}, \qquad U_g\simeq-3{,}683\ \text{eV}. \]Aucun minimum local de l’énergie électronique \(E_g\) seule n’est détecté.
4. Précision numérique
L’erreur de quadrature maximale estimée pendant le test est d’environ :
\[ 5{,}4\times10^{-10}\ \text{eV}. \]Cette précision montre que les irrégularités de la version cylindrique ont pratiquement disparu. Les croisements observés ne sont donc plus des effets visibles du pas de la grille bidimensionnelle précédente.
5. Nouvelle organisation graphique
La courbe \[ \Delta E=E_u-E_g \] est placée sous le panneau représentant les deux noyaux.
Cette disposition libère davantage de hauteur pour :
- le panneau central des deux niveaux ;
- le panneau des quatre courbes d’énergie.
Cela améliore la lisibilité près de l’énergie nulle, tout en conservant l’affichage des fortes variations aux très petites valeurs de \(R\).