Résultats du calcul \(2p_x\) elliptique pour \(H_2^+\)

Le programme consacré aux orbitales atomiques \(2p_x\) reprend la même organisation graphique et numérique que le programme \(2p_z\), tout en tenant compte du fait que les orbitales \(2p_x\) sont perpendiculaires à l’axe internucléaire et engendrent des orbitales moléculaires de type \(\pi\).

1. Convention de couleurs

Les quatre courbes sont représentées avec une couleur propre :

\(E_g\) en bleu ;
\(E_u\) en orange ;
\(U_g\) en vert ;
\(U_u\) en rouge.

Dans le panneau central des niveaux :

lorsque le bouton radio indique Sans répulsion, les niveaux sont affichés en bleu et orange ;
lorsque le bouton radio indique Avec répulsion, les niveaux sont affichés en vert et rouge.

Cette convention permet d’identifier immédiatement chaque niveau avec la courbe correspondante.

2. Méthode de calcul

Le calcul utilise les coordonnées elliptiques prolates. L’intégration est effectuée :

analytiquement sur \(\eta\) ;
analytiquement sur \(\varphi\) ;
par une seule quadrature numérique régulière sur \(\xi\).

Cette méthode réduit fortement le coût numérique et évite les irrégularités associées à une grille cylindrique avec singularités mobiles.

3. Grandeurs représentées

Le programme calcule et trace :

les énergies électroniques \(E_g\) et \(E_u\) ;
les courbes de Born–Oppenheimer \(U_g\) et \(U_u\) ;
la différence \[ \Delta E(R)=E_u(R)-E_g(R) ; \]
les croisements éventuels ;
les minima locaux éventuels.

4. Combinaisons LCAO pour \(2p_x\)

Pour deux orbitales \(2p_x\) écrites avec le même axe \(x\), les combinaisons normalisées sont :

\[ \psi_u = \frac{\phi_A+\phi_B} {\sqrt{2(1+S)}}, \] \[ \psi_g = \frac{\phi_A-\phi_B} {\sqrt{2(1-S)}}. \]

La combinaison symétrique par rapport à l’échange des centres est ici ungerade. Elle correspond à l’orbitale moléculaire \(1\pi_u\).

La combinaison antisymétrique correspond à \(1\pi_g\).

5. Ordre des niveaux

La combinaison \(1\pi_u\) renforce la densité électronique dans les régions situées de part et d’autre de l’axe moléculaire, entre les deux noyaux. Elle est donc liante.

La combinaison \(1\pi_g\) introduit au contraire un nœud supplémentaire entre les centres et est antiliante.

On s’attend donc à l’ordre :

\[ E_u Le calcul numérique confirme bien cette relation sur l’ensemble des distances étudiées.

Le niveau liant issu des orbitales \(2p_x\) est donc \[ 1\pi_u, \] tandis que le niveau antiliant est \[ 1\pi_g. \] Le résultat est cohérent avec l’analyse de symétrie et avec la forme des orbitales moléculaires \(\pi\).

Fichier Python associé

molecule_h2p_04_02_2px_elliptique_SI.py

Le programme a été vérifié syntaxiquement et son exécution confirme le comportement attendu.