Niveaux liant et antiliant en base \(1s\)
Cette annexe développe, d’un point de vue strictement mathématique, le calcul LCAO des deux niveaux moléculaires issus des orbitales atomiques \(1s_A\) et \(1s_B\) de l’ion moléculaire \(\mathrm{H}_2^+\).
Cadre choisi. Approximation de Born–Oppenheimer, noyaux fixes séparés par \(R\), unités atomiques sauf mention contraire. Le problème à un électron permet de calculer analytiquement toutes les intégrales de la base minimale.
Pages
- 1. Cadre mathématique et Hamiltonien
- 2. Base \(1s_A,1s_B\), normalisation et problème généralisé
- 3. Intégrale de recouvrement \(S(R)\)
- 4. Intégrale coulombienne \(J(R)\)
- 5. Intégrale de résonance \(K(R)\)
- 6. Déterminant séculaire et énergies \(E_g,E_u\)
- 7. Contrôles, limites et expressions en eV
Résultats centraux
\[
S(R)=e^{-R}\left(1+R+\frac{R^2}{3}\right),
\]
\[
J(R)=-\frac1R+e^{-2R}\left(1+\frac1R\right),\qquad
K(R)=-e^{-R}(1+R),
\]
\[
H_{AA}=-\frac12+J(R),\qquad H_{AB}=-\frac12S(R)+K(R),
\]
\[
E_g^{\mathrm{tot}}=\frac{H_{AA}+H_{AB}}{1+S}+\frac1R,\qquad
E_u^{\mathrm{tot}}=\frac{H_{AA}-H_{AB}}{1-S}+\frac1R.
\]
Ici \(R\) est exprimé en rayons de Bohr \(a_0\), et les énergies en hartrees.