Calcul de la norme de \[ \psi(r)=e^{-r} \]
Le calcul est effectué dans l’espace tridimensionnel, en unités atomiques. La fonction dépend seulement de la distance
\[
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
\]
1. Définition de la norme
La norme au carré d’une fonction d’onde est :
\[ \|\psi\|^2 = \iiint_{\mathbb R^3} |\psi(\mathbf r)|^2\,d^3r. \]Ici :
\[ \psi(r)=e^{-r}, \qquad |\psi(r)|^2=e^{-2r}. \]Donc :
\[ \|\psi\|^2 = \iiint_{\mathbb R^3} e^{-2r}\,d^3r. \]2. Passage en coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques :
\[ d^3r = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. \]L’intégrale devient :
\[ \|\psi\|^2 = \int_0^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} e^{-2r} r^2\sin\theta \,d\varphi\,d\theta\,dr. \]Comme l’intégrande ne dépend ni de \(\theta\) ni de \(\varphi\), les intégrales angulaires se séparent :
\[ \int_0^{2\pi}d\varphi=2\pi, \] \[ \int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2. \]Le produit donne :
\[ 2\pi\times2=4\pi. \]Ainsi :
\[ \|\psi\|^2 = 4\pi \int_0^{\infty} r^2e^{-2r}\,dr. \]3. Calcul de l’intégrale radiale
On utilise la formule générale :
\[ \int_0^{\infty} r^n e^{-ar}\,dr = \frac{n!}{a^{n+1}}, \qquad a>0. \]Ici :
\[ n=2, \qquad a=2. \]Donc :
\[ \int_0^{\infty} r^2e^{-2r}\,dr = \frac{2!}{2^3}. \]Comme :
\[ 2!=2, \qquad 2^3=8, \]on obtient :
\[ \int_0^{\infty} r^2e^{-2r}\,dr = \frac{2}{8} = \frac14. \]4. Norme au carré
En remplaçant dans l’expression précédente :
\[ \|\psi\|^2 = 4\pi\times\frac14. \]Donc :
\[
\boxed{
\|\psi\|^2=\pi
}
\]
5. Norme de la fonction
La norme elle-même est la racine carrée de la norme au carré :
\[ \|\psi\| = \sqrt{\pi}. \]
\[
\boxed{
\|e^{-r}\|=\sqrt{\pi}
}
\]
6. Fonction normalisée
Pour obtenir une fonction de norme égale à 1, on divise par \(\sqrt\pi\) :
\[ \psi_{\mathrm{norm}}(r) = \frac{e^{-r}}{\sqrt\pi}. \]En effet :
\[ \left\| \frac{e^{-r}}{\sqrt\pi} \right\|^2 = \frac1\pi \|e^{-r}\|^2 = \frac1\pi\times\pi = 1. \]
La fonction d’onde normalisée est donc :
\[
\boxed{
\psi_{1s}(r)
=
\frac{1}{\sqrt\pi}e^{-r}
}
\]
7. Vérification directe
\[ \iiint \left| \frac{e^{-r}}{\sqrt\pi} \right|^2 d^3r = \frac1\pi \iiint e^{-2r}\,d^3r. \]Comme :
\[ \iiint e^{-2r}\,d^3r=\pi, \]on obtient :
\[ \frac1\pi\times\pi=1. \]8. Résumé
\[ \boxed{ \|e^{-r}\|^2=\pi } \] \[ \boxed{ \|e^{-r}\|=\sqrt\pi } \] \[ \boxed{ \psi_{\mathrm{norm}}(r) = \frac{1}{\sqrt\pi}e^{-r} } \]
Il faut bien distinguer la norme au carré, égale à \(\pi\), de la norme elle-même, égale à \(\sqrt\pi\).