Calcul de \[ -\frac12\,\Delta\!\left(e^{-r}\right)-\frac{e^{-r}}{r} \]
Le calcul est effectué en unités atomiques. L’expression correspond à l’action du Hamiltonien électronique de l’atome d’hydrogène
\[
\hat H=-\frac12\Delta-\frac1r
\]
sur la fonction radiale \(e^{-r}\).
1. Fonction considérée
On pose
\[ f(r)=e^{-r}. \]Cette fonction dépend seulement de la distance au noyau :
\[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]2. Laplacien d’une fonction radiale
Pour une fonction de symétrie sphérique :
\[ \Delta f= \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{df}{dr}\right) = \frac{d^2f}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{df}{dr}. \]3. Dérivées de \(e^{-r}\)
\[ \frac{df}{dr}=-e^{-r}, \qquad \frac{d^2f}{dr^2}=e^{-r}. \]4. Calcul du laplacien
\[ \Delta\!\left(e^{-r}\right) = e^{-r}+\frac{2}{r}\left(-e^{-r}\right). \]Donc :
\[ \boxed{ \Delta\!\left(e^{-r}\right) = e^{-r}-\frac{2e^{-r}}{r} } \qquad (r>0). \]5. Contribution cinétique
\[ -\frac12\Delta\!\left(e^{-r}\right) = -\frac12\left(e^{-r}-\frac{2e^{-r}}{r}\right) = -\frac12e^{-r}+\frac{e^{-r}}{r}. \]6. Ajout du potentiel coulombien
\[ -\frac12\Delta\!\left(e^{-r}\right)-\frac{e^{-r}}{r} = -\frac12e^{-r} +\frac{e^{-r}}{r} -\frac{e^{-r}}{r}. \]Les deux termes en \(1/r\) s’annulent exactement :
\[ \frac{e^{-r}}{r}-\frac{e^{-r}}{r}=0. \]
On obtient :
\[
\boxed{
-\frac12\Delta\!\left(e^{-r}\right)-\frac{e^{-r}}{r}
=
-\frac12e^{-r}
}
\]
pour \(r>0\).
7. Interprétation physique
\[ \left(-\frac12\Delta-\frac1r\right)e^{-r} = -\frac12e^{-r}. \]Ainsi, \(e^{-r}\) est fonction propre du Hamiltonien de l’hydrogène, de valeur propre :
\[ \boxed{E=-\frac12E_h}. \]En électronvolts :
\[ E\simeq -13{,}606\ \mathrm{eV}. \]La fonction normalisée est :
\[ \psi_{1s}(r)=\frac{1}{\sqrt\pi}e^{-r}. \]8. Comportement au point \(r=0\)
Pris séparément, les termes cinétique et potentiel contiennent des contributions divergentes en \(1/r\). Mais dans leur somme, ces contributions s’annulent avant le passage à la limite :
\[ +\frac{e^{-r}}{r}-\frac{e^{-r}}{r}=0. \]La limite de l’expression complète est donc finie :
\[ \lim_{r\to0} \left[ -\frac12\Delta\!\left(e^{-r}\right)-\frac{e^{-r}}{r} \right] = -\frac12. \]
Il faut effectuer l’annulation des termes singuliers avant de prendre la limite \(r\to0\).