7. Contrôles mathématiques et limites

7.1 Limite \(R\to\infty\)

\[ S\to0,\qquad K\to0,\qquad J=-\frac1R+o(1/R). \] Ainsi, après ajout de \(1/R\), \[ E_g^{\mathrm{tot}},E_u^{\mathrm{tot}}\to-\frac12. \]

7.2 Limite \(R\to0\)

\[ S(R)\to1. \] Le dénominateur \(1-S\) de l’état antiliant tend vers zéro parce que \(\phi_A-\phi_B\) s’annule : la base antisymétrique devient linéairement dépendante.

7.3 Développements limités

\[ S(R)=1-\frac{R^2}{6}+\frac{R^4}{24}+O(R^5), \] \[ K(R)=-1+\frac{R^2}{2}-\frac{R^3}{3}+O(R^4). \] Pour \(R\gg1\), \[ S(R)\sim\frac{R^2}{3}e^{-R},\qquad K(R)\sim-Re^{-R}. \]

7.4 Conversion d’unités

\[ R(\mathrm{u.a.})=\frac{R_{\unicode{x212B}}}{0.529177}, \qquad E(\mathrm{eV})=27.211386\,E(\mathrm{Ha}). \]

7.5 Formules prêtes à programmer

R = distance_in_bohr
S = exp(-R) * (1 + R + R**2/3)
J = -1/R + exp(-2*R) * (1 + 1/R)
K = -exp(-R) * (1 + R)

H_AA = -0.5 + J
H_AB = -0.5*S + K

E_g_el  = (H_AA + H_AB) / (1 + S)
E_u_el  = (H_AA - H_AB) / (1 - S)

E_g_tot = E_g_el + 1/R
E_u_tot = E_u_el + 1/R

Convention. Ici \(J\) inclut le signe négatif du potentiel électronique. Certains ouvrages définissent au contraire une intégrale coulombienne positive.