5. Calcul analytique de \(K(R)\)

\[ K(R)=-\frac1\pi\int\frac{e^{-(r_A+r_B)}}{r_A}\,d^3r. \] Avec les coordonnées elliptiques prolates, \[ \frac{\mu^2-\nu^2}{r_A} =\frac{2}{R}(\mu-\nu). \] Ainsi \[ K=-\frac1\pi\frac{R^3}{8}\frac2R \int_0^{2\pi}d\varphi \int_1^\infty e^{-R\mu}d\mu \int_{-1}^{1}(\mu-\nu)d\nu. \] Or \[ \int_{-1}^{1}(\mu-\nu)d\nu=2\mu, \] donc \[ K=-R^2\int_1^\infty\mu e^{-R\mu}d\mu. \] Enfin \[ \int_1^\infty\mu e^{-R\mu}d\mu =e^{-R}\left(\frac1R+\frac1{R^2}\right). \]

\[ \boxed{K(R)=-e^{-R}(1+R)}. \]

\[ H_{AB}=-\frac12S+K =-e^{-R}\left(\frac32+\frac{3R}{2}+\frac{R^2}{6}\right). \]