4. Calcul analytique de \(J(R)\)
\[ J(R)=-\frac1\pi\int\frac{e^{-2r_A}}{r_B}\,d^3r. \]4.1 Coordonnées sphériques centrées sur \(A\)
\[ r_B=\sqrt{r^2+R^2-2rR\cos\theta}. \] L’intégrale angulaire est \[ \int d\Omega\,\frac1{r_B}= \begin{cases} 4\pi/R,&r4.2 Séparation radiale
\[ J=-4\left[\frac1R\int_0^Rr^2e^{-2r}dr+\int_R^\infty re^{-2r}dr\right]. \] \[ \int r^2e^{-2r}dr=-e^{-2r}\left(\frac{r^2}{2}+\frac r2+\frac14\right), \] \[ \int re^{-2r}dr=-e^{-2r}\left(\frac r2+\frac14\right). \] Après évaluation aux bornes et simplification :
\[
\boxed{J(R)=-\frac1R+e^{-2R}\left(1+\frac1R\right)}.
\]
\[
\boxed{H_{AA}(R)=-\frac12-\frac1R+e^{-2R}\left(1+\frac1R\right)}.
\]