5. Intégrale de résonance \(K_{2s}(R)\)
5.1 Définition
\[
K_{2s}(R)
=
\left\langle
\phi_A
\left|
-\frac1{r_B}
\right|
\phi_B
\right\rangle.
\]
En remplaçant les orbitales \(2s\),
\[
K_{2s}(R)
=
-\frac{1}{32\pi}
\int
\frac{(2-r_A)(2-r_B)}{r_B}
e^{-(r_A+r_B)/2}\,d^3r.
\]
5.2 Coordonnées elliptiques prolates
On utilise à nouveau
\[
r_A=\frac R2(\mu+\nu),
\qquad
r_B=\frac R2(\mu-\nu),
\]
et
\[
d^3r
=
\frac{R^3}{8}(\mu^2-\nu^2)
\,d\mu\,d\nu\,d\varphi.
\]
Le facteur \(1/r_B\) simplifie une partie du jacobien :
\[
\frac{1}{r_B}
\frac{R^3}{8}(\mu^2-\nu^2)
=
\frac{R^2}{4}
\frac{\mu^2-\nu^2}{\mu-\nu}
=
\frac{R^2}{4}(\mu+\nu).
\]
5.3 Intégration sur \(\nu\)
Le polynôme à intégrer est
\[
(2-r_A)(2-r_B)(\mu+\nu).
\]
Son intégrale entre \(-1\) et \(1\) vaut
\[
\int_{-1}^{1}
(2-r_A)(2-r_B)(\mu+\nu)\,d\nu
=
\frac{\mu}{6}
\left(
3R^2\mu^2-R^2-24R\mu+48
\right).
\]
5.4 Intégration sur \(\mu\)
Après intégration en \(\varphi\),
\[
K_{2s}(R)
=
-\frac{R^2}{64}
\int_1^\infty
e^{-R\mu/2}
\left[
\int_{-1}^{1}
(2-r_A)(2-r_B)(\mu+\nu)\,d\nu
\right]d\mu.
\]
On effectue ensuite les intégrales en \(\mu e^{-R\mu/2}\), \(\mu^2e^{-R\mu/2}\) et \(\mu^3e^{-R\mu/2}\).
\[
\boxed{
K_{2s}(R)
=
-\frac{e^{-R/2}}{96}
\left(
R^3-4R^2+12R+24
\right).
}
\]
5.5 Élément non diagonal
Comme
\[
\left(
-\frac12\nabla^2-\frac1{r_B}
\right)\phi_B
=
-\frac18\phi_B,
\]
on obtient
\[
\boxed{
H_{AB}(R)
=
-\frac18S_{2s}(R)+K_{2s}(R).
}
\]