4. Intégrale coulombienne \(J_{2s}(R)\)
4.1 Définition
\[
J_{2s}(R)
=
\left\langle
\phi_A
\left|
-\frac1{r_B}
\right|
\phi_A
\right\rangle.
\]
Comme
\[
|\phi_A|^2
=
\frac{1}{32\pi}
(2-r)^2e^{-r},
\qquad r=r_A,
\]
on a
\[
J_{2s}(R)
=
-\frac{1}{32\pi}
\int
\frac{(2-r)^2e^{-r}}{r_B}\,d^3r.
\]
4.2 Intégrale angulaire
Dans des coordonnées sphériques centrées sur \(A\),
\[
\int d\Omega\,\frac1{r_B}
=
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{4\pi}{R},
& 0\le r\lt R,
\\[2ex]
\displaystyle \frac{4\pi}{r},
& r\gt R.
\end{array}
\right.
\]
L’utilisation de \(\lt\) et \(\gt\) évite que les signes de comparaison soient interprétés comme des balises HTML.
4.3 Séparation radiale
\[
J_{2s}(R)
=
-\frac18
\left[
\frac1R
\int_0^R r^2(2-r)^2e^{-r}\,dr
+
\int_R^\infty r(2-r)^2e^{-r}\,dr
\right].
\]
On développe
\[
r^2(2-r)^2=r^4-4r^3+4r^2,
\]
et
\[
r(2-r)^2=r^3-4r^2+4r.
\]
Les primitives peuvent être obtenues par intégrations par parties successives ou au moyen de
\[
\int r^n e^{-r}\,dr
=
-e^{-r}
\left(
r^n+nr^{n-1}+n(n-1)r^{n-2}+\cdots+n!
\right).
\]
4.4 Résultat
Après évaluation aux bornes et simplification,
\[
\boxed{
J_{2s}(R)
=
-\frac1R
+
\frac{e^{-R}}{8R}
\left(
R^3+2R^2+6R+8
\right).
}
\]
Une forme équivalente est
\[
J_{2s}(R)
=
-\frac1R
+
e^{-R}
\left(
\frac{R^2}{8}
+\frac{R}{4}
+\frac{3}{4}
+\frac1R
\right).
\]
La forme factorisée en \(1/(8R)\) est généralement la plus pratique pour
les contrôles algébriques et numériques.
4.5 Élément diagonal
L’orbitale \(2s_A\) est fonction propre de
\[
-\frac12\nabla^2-\frac1{r_A}
\]
avec l’énergie \(-1/8\). Par conséquent,
\[
\boxed{
H_{AA}(R)
=
-\frac18+J_{2s}(R).
}
\]