3. Intégrale de recouvrement \(S_{2s}(R)\)
3.1 Définition
\[
S_{2s}(R)
=
\int \phi_A(\mathbf r)\phi_B(\mathbf r)\,d^3r.
\]
En remplaçant les deux orbitales :
\[
S_{2s}(R)
=
\frac{1}{32\pi}
\int
(2-r_A)(2-r_B)
e^{-(r_A+r_B)/2}\,d^3r.
\]
3.2 Coordonnées elliptiques prolates
On introduit
\[
\mu=\frac{r_A+r_B}{R},
\qquad
\nu=\frac{r_A-r_B}{R},
\]
de sorte que
\[
r_A=\frac R2(\mu+\nu),
\qquad
r_B=\frac R2(\mu-\nu),
\]
avec
\[
1\le\mu<\infty,
\qquad
-1\le\nu\le1,
\qquad
0\le\varphi<2\pi.
\]
Le jacobien vaut
\[
d^3r
=
\frac{R^3}{8}
(\mu^2-\nu^2)\,
d\mu\,d\nu\,d\varphi.
\]
Comme \(r_A+r_B=R\mu\), le facteur exponentiel devient
\[
e^{-(r_A+r_B)/2}=e^{-R\mu/2}.
\]
3.3 Intégration sur \(\nu\)
\[
(2-r_A)(2-r_B)
=
4-2R\mu+\frac{R^2}{4}(\mu^2-\nu^2).
\]
Après multiplication par le jacobien, on doit intégrer
\[
\left[
4-2R\mu+\frac{R^2}{4}(\mu^2-\nu^2)
\right]
(\mu^2-\nu^2).
\]
L’intégration de \(\nu=-1\) à \(1\) donne
\[
\int_{-1}^{1}
(2-r_A)(2-r_B)(\mu^2-\nu^2)\,d\nu
\]
\[
=
\frac{1}{30}
\left(
15R^2\mu^4
-10R^2\mu^2
+3R^2
-120R\mu^3
+40R\mu
+240\mu^2
-80
\right).
\]
3.4 Intégration sur \(\mu\)
Les intégrales nécessaires sont de la forme
\[
\int_1^\infty \mu^n e^{-R\mu/2}\,d\mu.
\]
Elles se ramènent à des exponentielles multipliées par des polynômes en \(R\). Après substitution et simplification, on obtient
\[
\boxed{
S_{2s}(R)
=
\frac{e^{-R/2}}{240}
\left(
R^4+20R^2+120R+240
\right)
}
\]
ou, sous une forme plus lisible,
\[
\boxed{
S_{2s}(R)
=
e^{-R/2}
\left(
1+\frac R2+\frac{R^2}{12}+\frac{R^4}{240}
\right).
}
\]
3.5 Contrôle
\[
S_{2s}(0)=1,
\qquad
\lim_{R\to\infty}S_{2s}(R)=0.
\]