2. Base LCAO construite sur les orbitales \(2s\)
2.1 Orbitale atomique normalisée
En unités atomiques, l’orbitale hydrogénoïde \(2s\), centrée sur un noyau, est
\[
\phi_{2s}(r)
=
\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}
(2-r)e^{-r/2}.
\]
On pose donc
\[
\phi_A(\mathbf r)
=
\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}
(2-r_A)e^{-r_A/2},
\qquad
\phi_B(\mathbf r)
=
\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}
(2-r_B)e^{-r_B/2}.
\]
Ces fonctions possèdent un nœud radial :
\[
r_A=2
\quad\text{pour }\phi_A,
\qquad
r_B=2
\quad\text{pour }\phi_B.
\]
2.2 Combinaisons symétrique et antisymétrique
\[
\psi_g
=
N_g(\phi_A+\phi_B),
\qquad
\psi_u
=
N_u(\phi_A-\phi_B).
\]
Avec
\[
S(R)=\langle\phi_A|\phi_B\rangle,
\]
les constantes de normalisation sont
\[
N_g=\frac{1}{\sqrt{2(1+S)}},
\qquad
N_u=\frac{1}{\sqrt{2(1-S)}}.
\]
2.3 Symétrie
Sous inversion au centre de la molécule, les deux orbitales atomiques s’échangent. Il en résulte
\[
\psi_g(-\mathbf r)=+\psi_g(\mathbf r),
\qquad
\psi_u(-\mathbf r)=-\psi_u(\mathbf r).
\]
Dans cette base, les deux orbitales moléculaires sont donc de symétrie \(2s\,\sigma_g\) et \(2s\,\sigma_u\), ou plus simplement \(\sigma_g\) et \(\sigma_u\) lorsque le contexte est clair.