9. Intégrale de résonance : calcul complet
On a
\[ K(R)= -\frac{R^4}{384} \int_1^\infty (\mu^3-3\mu)e^{-R\mu/2}d\mu. \]Avec \(a=R/2\),
\[ I_1=e^{-a}\left(\frac1a+\frac1{a^2}\right), \] \[ I_3=e^{-a}\left( \frac1a+\frac3{a^2}+\frac6{a^3}+\frac6{a^4} \right). \]Donc
\[ K=-\frac{R^4}{384}(I_3-3I_1). \]Après remplacement de \(a=R/2\),
\[ I_3-3I_1 =e^{-R/2} \left( -\frac4R+\frac{48}{R^3}+\frac{96}{R^4} \right). \]Finalement,
\[
\boxed{
K(R)=
\frac{e^{-R/2}}{96}
\left(R^3-12R-24\right).
}
\]
Avec la convention de phase retenue, \(K(0)=-1/4\). Une inversion arbitraire du signe de \(\phi_B\) changerait simultanément les signes de \(S\), \(K\) et \(H_{AB}\), sans modifier les énergies physiques.