8. Intégrale de résonance : mise en place
\[ K(R)= \left\langle\phi_A\left|-\frac1{r_B}\right|\phi_B\right\rangle. \]En coordonnées elliptiques,
\[ \frac{\mu^2-\nu^2}{\mu-\nu}=\mu+\nu. \]On obtient donc
\[ K(R)= -\frac{R^4}{256} \int_1^\infty e^{-R\mu/2} \left[ \int_{-1}^{1} (\mu^2\nu^2-1)(\mu+\nu)\,d\nu \right]d\mu. \]Intégration sur \(\nu\)
\[ (\mu^2\nu^2-1)(\mu+\nu) =\mu^3\nu^2+\mu^2\nu^3-\mu-\nu. \]Les termes impairs en \(\nu\) s’annulent :
\[ \int_{-1}^{1}\nu\,d\nu=0, \qquad \int_{-1}^{1}\nu^3d\nu=0. \]Il reste
\[ \int_{-1}^{1} (\mu^2\nu^2-1)(\mu+\nu)d\nu = \frac23\mu^3-2\mu = \frac{2\mu}{3}(\mu^2-3). \]