7. Intégrale coulombienne : calcul radial
Avec \(N^2=1/(32\pi)\),
\[ J=-\frac1{32\pi} \left[ \int_0^R r^4e^{-r} \left(\frac{4\pi}{3R}+\frac{8\pi r^2}{15R^3}\right)dr + \int_R^\infty r^4e^{-r} \left(\frac{4\pi}{3r}+\frac{8\pi R^2}{15r^3}\right)dr \right]. \]Soit
\[ J=-\frac1{24R}\int_0^Rr^4e^{-r}dr -\frac1{60R^3}\int_0^Rr^6e^{-r}dr -\frac1{24}\int_R^\infty r^3e^{-r}dr -\frac{R^2}{60}\int_R^\infty re^{-r}dr. \]Formules aux bornes
\[ \int_0^Rr^ne^{-r}dr =n!\left[ 1-e^{-R}\sum_{k=0}^{n}\frac{R^k}{k!} \right], \] \[ \int_R^\infty r^ne^{-r}dr =n!e^{-R}\sum_{k=0}^{n}\frac{R^k}{k!}. \]Après substitution, regroupement et réduction au même dénominateur,
\[
\boxed{
J(R)=
-\frac1R-\frac{12}{R^3}
+\frac{e^{-R}}{8R^3}
\left(
R^5+6R^4+22R^3+56R^2+96R+96
\right).
}
\]
Une forme unique est
\[ J(R)= \frac{ e^{-R}(R^5+6R^4+22R^3+56R^2+96R+96) -8R^2-96 }{8R^3}. \]La singularité apparente en \(R=0\) est amovible et
\[ J(0)=-\frac14. \]