6. Intégrale coulombienne : partie angulaire
\[ J(R)=-N^2\int r^2e^{-r}\cos^2\theta\, \frac1{r_B}\,r^2dr\,d\Omega, \qquad r=r_A. \]On emploie le développement multipolaire
\[ \frac1{r_B} =\sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}}P_\ell(\cos\theta), \]où \(r_<=\min(r,R)\) et \(r_>=\max(r,R)\).
Décomposition de \(\cos^2\theta\)
\[ \cos^2\theta=\frac13+\frac23P_2(\cos\theta). \]Par orthogonalité, seuls \(\ell=0\) et \(\ell=2\) subsistent :
\[ \int d\Omega\,\cos^2\theta\,P_0=\frac{4\pi}{3}, \] \[ \int d\Omega\,\cos^2\theta\,P_2=\frac{8\pi}{15}. \]Donc
\[
\int d\Omega\,
\frac{\cos^2\theta}{r_B}
=
\frac{4\pi}{3r_>}
+
\frac{8\pi}{15}\frac{r_<^2}{r_>^3}.
\]
Explicitement,
\[ \int d\Omega\, \frac{\cos^2\theta}{r_B} = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{4\pi}{3R}+\frac{8\pi r^2}{15R^3}, &0\le r\lt R,\\[2ex] \displaystyle \frac{4\pi}{3r}+\frac{8\pi R^2}{15r^3}, &r\gt R. \end{array} \right. \]