5. Recouvrement : intégration complète
Il reste
\[ S(R)=\frac{R^5}{3840} \int_1^\infty \left(5\mu^4-18\mu^2+5\right)e^{-R\mu/2}d\mu. \]On pose \(a=R/2\). Pour tout entier \(n\),
\[ I_n(a)=\int_1^\infty\mu^ne^{-a\mu}d\mu =e^{-a}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!a^{k+1}}. \]En particulier,
\[ I_0=\frac{e^{-a}}a, \] \[ I_2=e^{-a}\left(\frac1a+\frac2{a^2}+\frac2{a^3}\right), \] \[ I_4=e^{-a}\left( \frac1a+\frac4{a^2}+\frac{12}{a^3} +\frac{24}{a^4}+\frac{24}{a^5} \right). \]Ainsi,
\[ S=\frac{R^5}{3840}\left(5I_4-18I_2+5I_0\right). \]Après remplacement de \(a=R/2\) et simplification,
\[
\boxed{
S(R)=
\frac{e^{-R/2}}{240}
\left(240+120R+12R^2-4R^3-R^4\right).
}
\]
Contrôles :
\[ S(0)=1,\qquad S(R)\to0\quad(R\to\infty). \]