4. Recouvrement : mise en place
\[ S(R)=\int\phi_A\phi_B\,d^3r. \]En coordonnées elliptiques, après intégration sur \(\varphi\),
\[ S(R)=\frac{R^5}{512} \int_1^\infty e^{-R\mu/2} \left[ \int_{-1}^{1} (\mu^2\nu^2-1)(\mu^2-\nu^2)\,d\nu \right]d\mu. \]Développement du polynôme
\[ (\mu^2\nu^2-1)(\mu^2-\nu^2) =\mu^4\nu^2-\mu^2\nu^4-\mu^2+\nu^2. \]On utilise
\[ \int_{-1}^{1}d\nu=2,\quad \int_{-1}^{1}\nu^2d\nu=\frac23,\quad \int_{-1}^{1}\nu^4d\nu=\frac25. \]On obtient
\[ \int_{-1}^{1} (\mu^2\nu^2-1)(\mu^2-\nu^2)d\nu = \frac2{15}\left(5\mu^4-18\mu^2+5\right). \]