3. Coordonnées elliptiques prolates
On définit
\[ \mu=\frac{r_A+r_B}{R}, \qquad \nu=\frac{r_A-r_B}{R}, \qquad \varphi=\varphi. \]Les relations inverses sont
\[ r_A=\frac R2(\mu+\nu), \qquad r_B=\frac R2(\mu-\nu), \] \[ z=\frac R2\mu\nu. \]Le domaine est
\[ 1\le\mu<\infty,\qquad -1\le\nu\le1,\qquad0\le\varphi<2\pi. \]Jacobian
\[ d^3r=\frac{R^3}{8}(\mu^2-\nu^2)\,d\mu\,d\nu\,d\varphi. \]Facteurs orbitaux
\[ z+\frac R2=\frac R2(\mu\nu+1), \qquad z-\frac R2=\frac R2(\mu\nu-1). \]Donc
\[ \phi_A=N\frac R2(\mu\nu+1)e^{-R(\mu+\nu)/4}, \] \[ \phi_B=N\frac R2(\mu\nu-1)e^{-R(\mu-\nu)/4}. \]Le produit se simplifie :
\[ \phi_A\phi_B =N^2\frac{R^2}{4}\left(\mu^2\nu^2-1\right)e^{-R\mu/2}. \]