10. Intégrale de résonance : calcul complet
On pose à nouveau
\[ a=\frac R2. \]Les intégrales utiles sont
\[ I_1 = e^{-a} \left( \frac1a+\frac1{a^2} \right), \] \[ I_3 = e^{-a} \left( \frac1a+\frac3{a^2} +\frac6{a^3} +\frac6{a^4} \right). \]Ainsi,
\[ K = -\frac{R^4}{384} \left(I_3-I_1\right). \]La différence vaut
\[ I_3-I_1 = e^{-a} \left( \frac2{a^2} +\frac6{a^3} +\frac6{a^4} \right). \]Avec \(a=R/2\),
\[ I_3-I_1 = e^{-R/2} \left( \frac8{R^2} +\frac{48}{R^3} +\frac{96}{R^4} \right). \]Finalement,
\[
\boxed{
K(R)
=
-\frac{e^{-R/2}}{48}
\left(
R^2+6R+12
\right).
}
\]
Contrôles
\[ K(0)=-\frac14, \qquad K(R)\to0 \quad(R\to\infty). \]Dans la convention de phase retenue, \(K(R)\) est négatif pour tout \(R\ge0\). Cela favorise énergétiquement la combinaison \(\phi_A+\phi_B\).