9. Intégrale de résonance : mise en place
\[ K(R) = -\int \frac{\phi_A\phi_B}{r_B} \,d^3r. \]En coordonnées elliptiques,
\[ \phi_A\phi_B = N^2\frac{R^2}{4} (\mu^2-1)(1-\nu^2) \cos^2\varphi e^{-R\mu/2}. \]Comme
\[ \frac{\mu^2-\nu^2}{\mu-\nu} = \mu+\nu, \]et
\[ \frac1{r_B} = \frac2{R(\mu-\nu)}, \]on obtient
\[ K(R) = -\frac{R^4}{512} \int_1^\infty e^{-R\mu/2} \left[ \int_{-1}^{1} (\mu^2-1)(1-\nu^2)(\mu+\nu) \,d\nu \right]d\mu. \]Intégration sur \(\nu\)
On développe
\[ (1-\nu^2)(\mu+\nu) = \mu+\nu-\mu\nu^2-\nu^3. \]Les termes impairs en \(\nu\) s’annulent. Il reste
\[ \int_{-1}^{1} (1-\nu^2)(\mu+\nu)d\nu = 2\mu-\frac{2\mu}{3} = \frac{4\mu}{3}. \]Donc
\[ \int_{-1}^{1} (\mu^2-1)(1-\nu^2)(\mu+\nu)d\nu = \frac{4\mu}{3}(\mu^2-1). \]Par conséquent,
\[ K(R) = -\frac{R^4}{384} \int_1^\infty (\mu^3-\mu)e^{-R\mu/2}d\mu. \]