8. Intégrale coulombienne : calcul radial
Avec \(N^2=1/(32\pi)\),
\[ J = -\frac1{32\pi} \left[ \int_0^R r^4e^{-r} \left( \frac{4\pi}{3R} -\frac{4\pi r^2}{15R^3} \right)dr + \int_R^\infty r^4e^{-r} \left( \frac{4\pi}{3r} -\frac{4\pi R^2}{15r^3} \right)dr \right]. \]Après simplification,
\[ J = -\frac1{24R} \int_0^Rr^4e^{-r}dr + \frac1{120R^3} \int_0^Rr^6e^{-r}dr \] \[ \hspace{2cm} -\frac1{24} \int_R^\infty r^3e^{-r}dr + \frac{R^2}{120} \int_R^\infty re^{-r}dr. \]Formules d’intégration
\[ \int_0^Rr^ne^{-r}dr = n! \left[ 1-e^{-R} \sum_{k=0}^{n}\frac{R^k}{k!} \right], \] \[ \int_R^\infty r^ne^{-r}dr = n!e^{-R} \sum_{k=0}^{n}\frac{R^k}{k!}. \]Après substitution et regroupement,
\[
\boxed{
J(R)
=
-\frac1R+\frac6{R^3}
-
\frac{e^{-R}}{4R^3}
\left(
R^3+8R^2+24R+24
\right).
}
\]
Une forme à dénominateur unique est
\[ J(R) = \frac{ 24-4R^2 -e^{-R}(R^3+8R^2+24R+24) }{4R^3}. \]Limite en \(R=0\)
Le développement de Taylor donne
\[ J(R) = -\frac14+\frac{R^2}{120}+O(R^4). \]Ainsi,
\[ J(0)=-\frac14. \]