7. Intégrale coulombienne : partie angulaire
Dans des coordonnées sphériques centrées sur \(A\), avec l’axe polaire dirigé vers \(B\),
\[ x=r\sin\theta\cos\varphi. \]On a donc
\[ J(R) = -N^2 \int_0^\infty r^4e^{-r} \left[ \int \frac{\sin^2\theta\cos^2\varphi}{r_B} \,d\Omega \right]dr. \]Développement multipolaire
\[ \frac1{r_B} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}} P_\ell(\cos\theta). \]L’intégration sur \(\varphi\) donne
\[ \int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\pi. \]De plus,
\[ \sin^2\theta = \frac23\left[1-P_2(\cos\theta)\right]. \]Seuls les termes \(\ell=0\) et \(\ell=2\) subsistent :
\[ \int d\Omega\, \sin^2\theta\cos^2\varphi = \frac{4\pi}{3}, \] \[ \int d\Omega\, \sin^2\theta\cos^2\varphi P_2(\cos\theta) = -\frac{4\pi}{15}. \]On obtient donc
\[
\boxed{
\int
\frac{\sin^2\theta\cos^2\varphi}{r_B}
\,d\Omega
=
\frac{4\pi}{3r_>}
-
\frac{4\pi}{15}
\frac{r_<^2}{r_>^3}.
}
\]
Explicitement,
\[ \int \frac{\sin^2\theta\cos^2\varphi}{r_B} \,d\Omega = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{4\pi}{3R} -\frac{4\pi r^2}{15R^3}, &0\le r\lt R, \\[2ex] \displaystyle \frac{4\pi}{3r} -\frac{4\pi R^2}{15r^3}, &r\gt R. \end{array} \right. \]