6. Recouvrement : intégration complète
On pose
\[ a=\frac R2. \]Pour tout entier \(n\ge0\),
\[ I_n(a) = \int_1^\infty \mu^ne^{-a\mu}d\mu = e^{-a} \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!a^{k+1}}. \]Les intégrales utiles sont
\[ I_0=\frac{e^{-a}}a, \] \[ I_2 = e^{-a} \left( \frac1a+\frac2{a^2}+\frac2{a^3} \right), \] \[ I_4 = e^{-a} \left( \frac1a+\frac4{a^2}+\frac{12}{a^3} +\frac{24}{a^4}+\frac{24}{a^5} \right). \]Le recouvrement vaut
\[ S = \frac{R^5}{3840} \left( 5I_4-6I_2+I_0 \right). \]Après substitution de \(a=R/2\),
\[ 5I_4-6I_2+I_0 = e^{-R/2} \left( \frac{32}{R^2} +\frac{384}{R^3} +\frac{1920}{R^4} +\frac{3840}{R^5} \right). \]Finalement,
\[
\boxed{
S(R)
=
\frac{e^{-R/2}}{120}
\left(
R^3+12R^2+60R+120
\right).
}
\]
Ou encore
\[ S(R) = e^{-R/2} \left( 1+\frac R2+\frac{R^2}{10}+\frac{R^3}{120} \right). \]