4. Coordonnées elliptiques prolates
On introduit
\[ \mu=\frac{r_A+r_B}{R}, \qquad \nu=\frac{r_A-r_B}{R}, \qquad \varphi=\varphi. \]Les relations inverses sont
\[ r_A=\frac R2(\mu+\nu), \qquad r_B=\frac R2(\mu-\nu), \] \[ z=\frac R2\mu\nu. \]La distance à l’axe internucléaire est
\[ \rho = \frac R2 \sqrt{(\mu^2-1)(1-\nu^2)}. \]Par conséquent,
\[ x= \frac R2 \sqrt{(\mu^2-1)(1-\nu^2)} \cos\varphi. \]Domaine et jacobien
\[ 1\le\mu<\infty, \qquad -1\le\nu\le1, \qquad 0\le\varphi<2\pi, \] \[ d^3r = \frac{R^3}{8} (\mu^2-\nu^2) \,d\mu\,d\nu\,d\varphi. \]Produit des orbitales
\[ \phi_A\phi_B = N^2x^2e^{-(r_A+r_B)/2}. \]Comme \(r_A+r_B=R\mu\),
\[ \phi_A\phi_B = N^2\frac{R^2}{4} (\mu^2-1)(1-\nu^2)\cos^2\varphi \,e^{-R\mu/2}. \]